统计力学一捅就寄（2）——统计法

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近独立粒子系统的统计分布

统计法大意

力学规律与统计规律：

  • 单粒子的力学规律：决定论的（量子力学、经典力学）
  • 宏观系统统计规律：非决定论的，几率性的

（概率论方面懂的都懂，摸了）

绝对涨落：\(\Delta \bar{x} \equiv \sqrt{\overline{(x-\bar{x})^{2}}}=\sqrt{\overline{x^{2}}-(\bar{x})^{2}}\)

相对涨落：\(\delta \bar{x} \equiv \Delta \bar{x} / \bar{x}\)

（其实就是标准差，非得起个名字叫涨落）

二项分布： \[ P_{N}(n)=\frac{N !}{n !(N-n) !} p^{n} q^{N-n} \] \(N\gg1，p\ll1\)时，二项分布趋近于泊松分布： \[ P_{N}(n)=\frac{(\bar{n})^{n}}{n !} e^{-\bar{n}} \] \(N\gg1\)，且\(p\)，\(q\)相差不大时，二项分布趋近于高斯分布： \[ P_{N}(n)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{(n-\bar{n})^{2}}{2 \sigma^{2}}}\quad(\sigma^{2}=N p q) \] \(\delta n\approx\sqrt{\frac{pq}{N}}\)，对于阿伏伽德罗常数量级的\(N\)，相对涨落小得离谱

近独立粒子系统

近独立粒子系统：粒子间作用能<<单个粒子能> 不能无相互作用，无作用则无法平衡

系统能量：\(E=\sum_{i} a_{i} \varepsilon_{i}\)

\(\varepsilon_i\)，单粒子的第\(i\)能级

\(a_i\)，处于第\(i\)能级的粒子数

\(\omega_i\)，第\(i\)能级的状态数，即简并度

单粒子状态的量子描述

常见能级分布：

  • 无限深方势阱 \[ \varepsilon_{n}=\frac{h^{2} n^{2}}{8 m L^{2}}\quad\omega_n=1 \]

  • 谐振子 \[ \varepsilon_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right)\quad\omega_n=1 \]

  • 三维转子 \[ \varepsilon_{l}=\frac{\hbar^{2}}{2 I} l(l+1)\quad\omega_l=2l+1 \]

系统状态的量子描述

要求全同粒子、全同性原理

微观状态：粒子按量子态的一个分配方式

宏观状态：粒子按能级的一个分布，记为\(\{a_i\}\)

等几率假设

Boltzmann等几率假设：处于平衡态的孤立系统，各可能的微观状态出现的几率相等

分布与微观状态

求宏观状态\(\{a_i\}\)包含的微观状态数\(\Omega\{a_i\}\)

  • Boltzmann系统：粒子可以分辨，量子态容纳粒子数不受限制
  • Bose系统：粒子不可分辨，量子态容纳粒子数不受限制
  • Fermi系统：粒子不可分辨，量子态容纳粒子数不超过一个

Bose系统

\[ \Omega_{B}\left\{a_{i}\right\}=\prod_{i} \frac{\left(a_{i}+\omega_{i}-1\right) !}{a_{i} !\left(\omega_{i}-1\right) !} \]

Fermi系统

\[ \Omega_{F}\left\{a_{i}\right\}=\prod_{i} \frac{\omega_{i} !}{a_{i} !\left(\omega_{i}-a_{i}\right) !} \]

半经典(Semi-classical)系统

当\(a_i\ll\omega_i\)时 \[ \Omega_{S}\left\{a_{i}\right\}=\prod_{i} \frac{\omega_{i}^{a_i}}{a_{i} !} \]

Bose分布与Fermi分布

全同，\(N\)、\(V\)、\(E\)确定

等几率假设→\(P\{a_i\}\propto\Omega\{a_i\}\)

最可几统计方法：将\(P\{a_i\}\)最大的分布近似作为平衡态分布，称最可几分布

用拉格朗日乘子法求条件极值，满足约束条件： \[ N=\sum_{i} a_{i}, \quad E=\sum_{i} a_{i}\varepsilon_{i} \] 斯特林公式： \[ \ln x!\approx x\ln x-x\quad x\gg1 \]

Bose分布

\[ a_{i}=\frac{\omega_{i}}{\exp \left(\alpha+\beta \cdot \varepsilon_{i}\right)-1} \]

Fermi分布

\[ a_{i}=\frac{\omega_{i}}{\exp \left(\alpha+\beta \cdot \varepsilon_{i}\right)+1} \]

半经典分布

当\(e^\alpha\gg1\)，即\(a_i\ll\omega_i\)时 \[ a_{i}=\omega_{i} \exp \left(-\alpha-\beta \varepsilon_{i}\right) \] 如稀薄气体，波包不重叠情况

Boltzmann分布

粒子可区分，如固体的晶格 \[ \Omega\left\{a_{i}\right\}=N!\prod_{i} \frac{\omega_{i}^{a_i}}{a_{i} !} \] 最可几分布同半经典 \[ a_{i}=\omega_{i} \exp \left(-\alpha-\beta \varepsilon_{i}\right) \]

つづく