量子力学量力学（3）
形式主义Formalism
（这个标题听着像贬义，实则褒义，我打心底热爱形式化的狄拉克符号）
希尔伯特空间
数学定义：完备的内积空间，一般有无穷维
量子力学加了一些要求：复数域、所有元素平方可积（可归一化）
==波函数生活在希尔伯特空间上==1
无穷维矢量不好写指标，于是狄拉克他直接放弃了指标，采用了船新的记号，将希尔伯特空间的矢量记为右矢 \(|\alpha\rangle\) ，对偶矢量记为左矢 \(\langle\alpha|\) 。左矢和右矢互为共轭转置
一切线性代数的操作顺理成章推广到无穷维
内积
\[ \langle f|g\rangle=\int f^*gdx \]
注意：这里的内积是厄米的，千万记得取共轭！ \[ \langle g|f\rangle=\langle f|g\rangle^* \]
Schwarz不等式
\[ \left|\int f^*gdx\right|\le\sqrt{\int |f|^2dx\int |g|^2dx} \]
正交归一
离散基： \[ \langle f_m|f_n\rangle=\delta_{mn} \] 连续基： \[ \langle f_\alpha|f_{\alpha'}\rangle=\delta(\alpha-\alpha') \]
完备性
离散基： \[ |f\rangle=\sum_n c_n|f_n\rangle,\quad c_n=\langle f_n|f\rangle\\\\ \Longleftrightarrow\sum_n|f_n\rangle\langle f_n|=1 \] 连续基： \[ |f\rangle=\int c(\alpha)|f_\alpha\rangle d\alpha,\quad c(\alpha)=\langle f_\alpha|f\rangle\\\\ \Longleftrightarrow\int|f_\alpha\rangle\langle f_\alpha|d\alpha=1 \]
厄米算符
即共轭转置为本身 \[ Q^\dagger=Q \] ==可观测量表示为厄米算符==