量子力学量力学（2）
定态
定态薛定谔方程
势函数不含时（能量守恒）条件下，概率分布不随时间变化。因此可以将空间因子和时间因子分离 \[ \Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t) \] 其中 \(\psi\) 和 \(\phi\) 各自归一化。
代入薛定谔方程，一通分离变量操作，得到两个方程 \[ \hat H\psi(x)=E\psi(x)\\\\ i\hbar\frac\partial{\partial t}\phi(t)=E\phi(t) \] 其中 \(E\) 即为哈密顿算符的本征值。
解得定态波函数 \[ \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar} \] \(\psi\) 满足的方程代入一维哈密顿算符即得到一维定态薛定谔方程 \[ [-\frac{\hbar^2}{2m}\frac {d^2}{dx^2}+V(x)]\psi(x)=E\psi(x) \] 也就是唯一有可能被我解出来的方程
定态波函数的特性
- 定态波函数本身含时，但时间因子会在取共轭时约掉。因此波函数模方（即概率密度）以及所有物理量的期望都不含时。
- 本征值 \(E\) 即为定态所对应的能量，能量守恒且确定（方差为0）1
- 本征值不同的定态叠加不是定态，模方含时
所有的定态构成了薛定谔方程通解的一组基，任意解都可如此分解： \[ \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n\psi_n(x)e^{-iE_nt/\hbar} \]
一维定态波函数的定性分析
整理一下方程 \[ \frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi=0 \]
- \(E<V\) 时， \(\frac{d^2\psi}{dx^2}\) 与 \(\psi\) 符号相同，向远离x轴的方向弯曲，类似指数增长和指数衰减，对应经典禁区。
- \(E>V\) 时， \(\frac{d^2\psi}{dx^2}\) 与 \(\psi\) 符号相反，向靠近x轴的方向弯曲，类似正弦函数，对应经典允许区。
つづく