量子力学量力学（1）
猛然发现这个博客一篇正经学习笔记都没有，这好吗，这不好。既然起了左矢这个名字，至少得写点跟左矢有关的东西。
这学期同时选了徐湛老师的费曼3和尤力老师的量力，相当于同时从两个角度学量子力学，进行了一个课程的简并。这博客也算是能帮我理清一下思路。
参考书目：格里菲斯，费曼第三卷，科恩
下面进入正题——
波函数
概率幅与波函数
按照哥本哈根学派的解释，量子事件随机发生，每个事件对于一个复数\(\psi\) ，称为概率幅。事件的发生概率即对应概率幅的模方\(P=|\psi|^2\)。
所谓“事件”，可以是离散的（如能级、双缝通道），也可以是连续的（如位置、动量），就是概率和概率密度的区别。
不观测时，不同状态的\(\psi\)可以叠加，\(P=|\psi_1+\psi_2|^2\) 。
观测时，则变成经典概率叠加，\(P=|\psi_1|^2+|\psi_2|^2\) 。
特别地，事件“粒子在某位置被观测”对应的概率幅\(\psi(\vec r,t)\) ，称为波函数。1
波函数必须满足归一化条件 \[ \int_\Omega|\psi|^2d^3r=1 \]
德布罗意关系
最简单的单色平面波方程： \[ \psi(\vec r,t)\propto e^{i(\vec k\cdot\vec r-\omega t)} \] 有德布罗意关系 \[ \vec p=\hbar \vec k\\\\ E=\hbar\omega \] 对应一个有着确定能量和动量的自由粒子。
这种情况实际上并不存在，因为：
- 单色平面波需要无限的空间和时间，在物理上无法完美实现
- 这个函数的模方不可积，在数学上无法归一化，不能表示概率
当然，不存在并不妨碍我们的使用。
薛定谔方程
从单色平面波 \(\vec p=\hbar \vec k\) 可以推出 \[ \vec p\psi=-i\hbar\nabla\psi \] 我们强行把\(\psi\)约掉，把动量变成了动量算符 \[ \hat p\equiv-i\hbar\nabla \] 代入哈密顿量可以得到哈密顿算符。把经典动量替换为动量算符的操作，称为正则量子化。 \[ H=\frac{p^2}{2m}+V\\\\ \Rightarrow\hat H\equiv-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V \] 对能量同样处理，则得到 \[ E\psi=i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi \] 能量的算符正是哈密顿算符，我们不可能再定义一个能量算符，所以这条不再是定义，而是一条定律。波函数的牛二定律——薛定谔方程 \[ i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi=\hat H\psi \] 代入哈密顿算符得到薛定谔方程的完全体： \[ i\hbar\frac\partial{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi \]
物理量的期望值
一坨波函数没有一个确定的位置，只能有位置的期望 \[ <x>=\int_\Omega\psi^* x\psi d^3r \] 位置还可以有交换律，动量算符就没法交换了2
\[ <p_x>=\int_\Omega\psi^*(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x})\psi d^3r \] 代入薛定谔方程，一波操作，有 \[ <p_x>=m\frac d{dt}<x>\\\\ \frac d{dt}<p_x>=<-\frac{\partial V}{\partial x}> \] 和经典公式完全一致。
方差同理 \[ \sigma^2_x=<x^2>-<x>^2 \]
不确定原理
取一个高斯分布的波函数\(\psi\propto e^{-\lambda x^2}\)，可以得到 \[ \sigma_x\sigma_{p_x}\ge\frac{\hbar}2 \] 一般取大于，只有高斯分布才取等。
这种不确定来自于位置和动量的非对易性 \[ [x,p_x]=x\hat p_x-\hat p_xx=i\hbar \]
概率流密度
概率密度对时间求导，代入薛定谔方程，一通操作 \[ \frac{\partial}{\partial t}|\psi|^2=-\nabla\cdot[\frac{i\hbar}{2m}((\nabla\psi^*)\psi-\psi^*\nabla\psi)] \] 即 \[ \rho=|\psi|^2,\quad\vec j=\frac{i\hbar}{2m}((\nabla\psi^*)\psi-\psi^*\nabla\psi)\\ \frac{\partial}{\partial t}\rho+\nabla\cdot\vec j=0 \] 得到孤立体系的概率密度局域守恒。